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2、查看完整内容> 内容来自用户:拉二胡的流浪者 第十一章第三节任意项级数的审敛法一,交错级数及其审敛法二,绝对收敛与条件收敛一,交错级数及其审敛法1.定义交错级数:若交错级数满足:()u1u2+u3L+(1)n1un+Lun>0定理11.6(莱布尼茨审敛法)limun=0,1)un≥un+1(n=1,2,L);2)∞n→∞则∑(1)n=1n1un收敛,且其和S≤u1,称满足条件1),2)的级数为莱布尼茨交错级数其余项满足rn≤un+1.证明思路:limS2n=S,limS2n1=SlimSn=Sn→∞n→∞n→∞证1先证部分和数列S2n单调增加且有上界.QS2n=(u1u2)+(u3u4)+L+(u2n1u2n)=S2n2+(u2n1u2n)≥S2n20≤un递减+S2n=u1(u2u3)(u4u5)L(u2n2u2n1)u2n≤u1∴{S2n单调增加且有上界∴n→∞limS2n=S≤u12再证limS2n1=Sn→∞又limS2n+1=lim(S2n+u2n+1)=limS2n=Sn→∞n→∞n→∞∴n→∞limSn=S,故级数收敛于S,且S≤u1,Sn的余项:rn=SSn=±(un+1un+2+L)rn=un+1un+2+L≤un+1.仍为莱布尼茨交错级数注1莱布尼茨定理中的条件(1)可换成:un+1≤un2o{un不单调∞(n≥N)/n=1∑(1)∞n1un(un>0)发散;n2+(1)n2+(1)反例:对于∑(1)n1,un=>0nn22n=1虽然{un不单调,事实。

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